Задача 1
Условие (кратко)
Точка O — середина медианы EG треугольника DEF. Выразите вектор DO через a = ED и b = EF.
Решение
Дано
- \(\triangle DEF\)
- \(EG\) — медиана (\(G\) — середина \(DF\))
- \(O\) — середина \(EG\)
- \(\overrightarrow{ED} = \vec{a}\)
- \(\overrightarrow{EF} = \vec{b}\)
Найти
- \(\overrightarrow{DO}\)
-
\(\overrightarrow{DF} = \overrightarrow{EF} - \overrightarrow{ED} = \vec{b} - \vec{a}\), поэтому \(\overrightarrow{EG} = \overrightarrow{ED} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{DF} = \vec{a} + \dfrac{1}{2}\vec{b} - \dfrac{1}{2}\vec{a} = \dfrac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})\).
-
\(\overrightarrow{EO} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{EG} = \dfrac{1}{4}(\vec{a} + \vec{b})\).
-
\(\overrightarrow{DO} = \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{EO} = -\vec{a} + \dfrac{1}{4}\vec{a} + \dfrac{1}{4}\vec{b} = -\dfrac{3}{4}\vec{a} + \dfrac{1}{4}\vec{b}\).
Ответ
DO = −¾a + ¼b
Почему так
Сначала выражаем вектор медианы, берём его половину и замыкаем путь от D через E.
Подробнее — в теме «Умножение вектора на число».