Задача 1
Дан произвольный треугольник ABC. Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны медианам треугольника ABC.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) — медианы. Доказать: существует треугольник со сторонами, параллельными и равными \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\).
-
По формуле середины отрезка (задача 1 п. 92): \(\overrightarrow{AA_1} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})\), \(\overrightarrow{BB_1} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA})\), \(\overrightarrow{CC_1} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB})\).
-
Сложим: \(\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{CC_1} = \dfrac{1}{2}\bigl((\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA}) + (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA}) + (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CB})\bigr) = \vec{0}\), потому что каждая скобка — сумма противоположных векторов.
-
Отложим от точки \(M\) вектор \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AA_1}\), от точки \(N\) — вектор \(\overrightarrow{NP} = \overrightarrow{BB_1}\). Тогда \(\overrightarrow{MP} = \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1} = -\overrightarrow{CC_1}\), то есть \(\overrightarrow{PM} = \overrightarrow{CC_1}\).
-
Медианы \(AA_1\) и \(BB_1\) не параллельны (они пересекаются), поэтому точки \(M\), \(N\), \(P\) не лежат на одной прямой. Стороны \(MN\), \(NP\), \(PM\) треугольника \(MNP\) параллельны и равны медианам \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\).
Ответ
Если сумма трёх неколлинеарных векторов равна нулю, то, приставив их друг к другу, получим треугольник.
Подробнее — в теме «Применение векторов к решению задач».