Задача 1
На сторонах треугольника ABC построены параллелограммы ABB₁A₂, BCC₁B₂, ACC₂A₁. Докажите, что существует треугольник, стороны которого параллельны и равны отрезкам A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(ABB_1A_2\), \(BCC_1B_2\), \(ACC_2A_1\) — параллелограммы. Доказать: существует треугольник со сторонами, соответственно параллельными и равными \(A_1A_2\), \(B_1B_2\), \(C_1C_2\).
-
В параллелограмме противоположные стороны как векторы равны: из \(ABB_1A_2\) получаем \(\overrightarrow{AA_2} = \overrightarrow{BB_1}\), из \(BCC_1B_2\) — \(\overrightarrow{BB_2} = \overrightarrow{CC_1}\), из \(ACC_2A_1\) — \(\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{CC_2}\).
-
Выразим векторы отрезков:
\(\overrightarrow{A_1A_2} = \overrightarrow{AA_2} - \overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{BB_1} - \overrightarrow{CC_2}\),
\(\overrightarrow{B_1B_2} = \overrightarrow{BB_2} - \overrightarrow{BB_1} = \overrightarrow{CC_1} - \overrightarrow{BB_1}\),
\(\overrightarrow{C_1C_2} = \overrightarrow{CC_2} - \overrightarrow{CC_1}\).
-
Сложив, получим \(\overrightarrow{A_1A_2} + \overrightarrow{B_1B_2} + \overrightarrow{C_1C_2} = \vec{0}\).
-
Как в задаче 976: отложим \(\overrightarrow{A_1A_2}\) от точки \(M\), к его концу \(N\) приставим \(\overrightarrow{B_1B_2}\), получим точку \(P\); тогда \(\overrightarrow{PM} = \overrightarrow{C_1C_2}\). Если векторы не коллинеарны, \(MNP\) — искомый треугольник.
Ответ
Равенство противоположных сторон параллелограммов как векторов даёт нулевую сумму трёх векторов — они замыкаются в треугольник.
Подробнее — в теме «Применение векторов к решению задач».