Задача 1
Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности оснований.
Решение
Дано: \(ABCD\) — трапеция, \(AD \parallel BC\), \(AD > BC\), \(M\) — середина \(AC\), \(N\) — середина \(BD\). Доказать: \(MN \parallel AD\), \(MN = \dfrac{AD - BC}{2}\).
-
По задаче 973: \(\overrightarrow{MN} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB})\).
-
\(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{CB}\) коллинеарны и направлены противоположно, причём \(AD > BC\). Поэтому их сумма сонаправлена с \(\overrightarrow{AD}\) и имеет длину \(AD - BC\).
-
Значит, \(\overrightarrow{MN} \uparrow\uparrow \overrightarrow{AD}\) и \(MN = \dfrac{AD - BC}{2}\).
-
Точка \(M\) — середина \(AC\), а \(C\) не лежит на прямой \(AD\), поэтому \(M\) не лежит на \(AD\). Коллинеарность векторов даёт \(MN \parallel AD\), а значит, и \(MN \parallel BC\).
Ответ
Вектор между серединами диагоналей равен полусумме векторов AD и CB, которые противоположно направлены.
Подробнее — в теме «Применение векторов к решению задач».