Задача 1
Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон произвольного четырёхугольника, точкой пересечения делятся пополам.
Решение
Дано: \(ABCD\) — четырёхугольник, \(K\), \(L\), \(M\), \(N\) — середины \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\). Доказать: отрезки \(KM\) и \(LN\) делятся точкой пересечения пополам.
- Пусть \(P\) — середина \(KM\), \(Q\) — середина \(LN\), \(O\) — произвольная точка. По формуле середины отрезка:
\(\overrightarrow{OP} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OK} + \overrightarrow{OM}) = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{2} + \dfrac{\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}}{2}\right) = \dfrac{1}{4}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD})\).
-
Точно так же \(\overrightarrow{OQ} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OL} + \overrightarrow{ON}) = \dfrac{1}{4}(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OA})\).
-
\(\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OQ}\), значит, точки \(P\) и \(Q\) совпадают. Эта точка — общая точка отрезков \(KM\) и \(LN\), то есть точка их пересечения, и она — середина каждого из них.
Ответ
Векторы из одной точки в середины обоих отрезков равны четверти суммы векторов в вершины, значит, середины совпадают.
Подробнее — в теме «Применение векторов к решению задач».