Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 92

Упражнение 980 к § 92

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите теорему о средней линии треугольника (п. 69) с помощью векторного метода.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , $$M$$ — середина $$AB$$ , $$N$$ — середина $$AC$$ . Доказать: $MN \parallel BC$ , $MN = \dfrac{1}{2}BC$ .

$\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ .
$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ .
Значит, $\overrightarrow{MN} \uparrow\uparrow \overrightarrow{BC}$ и $MN = \dfrac{1}{2}BC$ . Точка $$M$$ не лежит на прямой $$BC$$ , поэтому из коллинеарности векторов следует $MN \parallel BC$ .

Ответ

Теорема доказана: MN ∥ BC, MN = ½BC

Почему так

Разность векторов, равных половинам сторон AC и AB, равна половине вектора BC.