Задача 1
Условие (кратко)
Найдите диаметр окружности, если его концы удалены от некоторой касательной на 18 см и 12 см.
Решение
Дано
- \(AB\) — диаметр окружности с центром \(O\)
- прямая \(l\) касается окружности в точке \(C\)
- \(AA_1 \perp l\)
- \(BB_1 \perp l\)
- \(AA_1 = 18\) см
- \(BB_1 = 12\) см
Найти
- \(AB\)
-
Радиус \(OC\) перпендикулярен касательной, поэтому \(AA_1 \parallel OC \parallel BB_1\). Окружность лежит по одну сторону от касательной, так что \(AA_1B_1B\) — трапеция (основания \(AA_1\) и \(BB_1\) не равны).
-
\(O\) — середина \(AB\), и по теореме Фалеса \(C\) — середина \(A_1B_1\). Значит, \(OC\) — средняя линия трапеции: \(OC = \dfrac{18 + 12}{2} = 15\) см.
-
\(AB = 2 \cdot OC = 30\) см.
Ответ
30 см
Почему так
Радиус в точку касания — средняя линия трапеции, образованной перпендикулярами из концов диаметра.
Подробнее — в теме «Применение векторов к решению задач».