Задача 1
Условие (кратко)
Из концов диаметра CD окружности проведены перпендикуляры CC₁ и DD₁ к касательной, не перпендикулярной к CD. Найдите DD₁, если CC₁ = 11 см, CD = 27 см.
Решение
Дано
- \(CD\) — диаметр окружности с центром \(O\)
- \(CC_1\) и \(DD_1\) — перпендикуляры к касательной \(l\) (точка касания \(K\))
- \(CC_1 = 11\) см
- \(CD = 27\) см
Найти
- \(DD_1\)
-
\(OK \perp l\), поэтому \(CC_1 \parallel OK \parallel DD_1\), и \(CC_1D_1D\) — трапеция. \(O\) — середина \(CD\), по теореме Фалеса \(K\) — середина \(C_1D_1\), значит, \(OK\) — средняя линия трапеции.
-
\(OK = \dfrac{CD}{2} = 13{,}5\) см, и \(OK = \dfrac{CC_1 + DD_1}{2}\).
-
\(DD_1 = 2 \cdot 13{,}5 - 11 = 16\) см.
Ответ
16 см
Почему так
Радиус в точку касания — средняя линия трапеции, а сумма её оснований равна диаметру.
Подробнее — в теме «Применение векторов к решению задач».