Геометрия 9 класс Атанасян, Бутузов и др., § 92, упражнение 985

Условие (кратко)

Докажите, что средняя линия трапеции проходит через середины диагоналей.

Решение

Дано: $$ABCD$$ — трапеция, $AD \parallel BC$ , $$MN$$ — средняя линия ( $$M$$ — середина $$AB$$ , $$N$$ — середина $$CD$$ ), $$P$$ — середина $$AC$$ , $$Q$$ — середина $$BD$$ . Доказать: $$P$$ и $$Q$$ лежат на $$MN$$ .

$$MP$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$ , поэтому $\overrightarrow{MP} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ и $MP \parallel BC$ .
По теореме о средней линии трапеции $MN \parallel BC$ . Через точку $$M$$ проходит только одна прямая, параллельная $$BC$$ , поэтому прямые $$MP$$ и $$MN$$ совпадают — точка $$P$$ лежит на прямой $$MN$$ . Векторы $\overrightarrow{MP} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{MN} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD})$ сонаправлены с $\overrightarrow{BC}$ , а $MP = \dfrac{BC}{2} < \dfrac{AD + BC}{2} = MN$ , поэтому точка $$P$$ лежит на самом отрезке $$MN$$ .
Аналогично $$MQ$$ — средняя линия треугольника $$ABD$$ : $\overrightarrow{MQ} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}$ сонаправлен с $\overrightarrow{MN}$ и $MQ = \dfrac{AD}{2} < MN$ , поэтому $$Q$$ лежит на отрезке $$MN$$ .

Ответ

Утверждение доказано: середины диагоналей лежат на средней линии

Почему так

Отрезок от середины боковой стороны до середины диагонали — средняя линия треугольника, он параллелен основаниям, как и средняя линия трапеции.

Подробнее — в теме «Применение векторов к решению задач».

Упражнение 985 к § 92

Задача 1

Похожие задачи для тренировки