Задача 1
Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 48 см, а средняя линия делится диагональю на отрезки 11 см и 35 см. Найдите углы трапеции.
Решение
- \(ABCD\) — равнобедренная трапеция
- \(AD \parallel BC\)
- \(AB = CD = 48\) см
- средняя линия \(MN\) пересекает диагональ \(AC\) в точке \(P\)
- \(MP = 11\) см
- \(PN = 35\) см
- углы трапеции
-
\(P\) — середина \(AC\) (задача 985). \(MP\) — средняя линия треугольника \(ABC\): \(BC = 2 \cdot 11 = 22\) см; \(PN\) — средняя линия треугольника \(ACD\): \(AD = 2 \cdot 35 = 70\) см.
-
Проведём высоту \(BH\). В равнобедренной трапеции \(AH = \dfrac{AD - BC}{2} = \dfrac{70 - 22}{2} = 24\) см.
-
В прямоугольном треугольнике \(ABH\) катет \(AH = 24\) см равен половине гипотенузы \(AB = 48\) см, поэтому \(\angle ABH = 30^\circ\) и \(\angle A = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\).
-
\(\angle D = \angle A = 60^\circ\), \(\angle B = \angle C = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\).
Ответ
Отрезки средней линии — половины оснований, а проекция боковой стороны на большее основание равна полуразности оснований.
Подробнее — в теме «Применение векторов к решению задач».