Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 93

Упражнение 1000 к § 93

§ 93. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам · тема: Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Задача 1

Условие (кратко)

Векторы a и b коллинеарны. Коллинеарны ли векторы a + 3b и a? Ответ обоснуйте.

Решение

Дано

$\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны

Найти

коллинеарны ли $\vec{a} + 3\vec{b}$ и $\vec{a}$

Если $\vec{a} = \vec{0}$ , то нулевой вектор коллинеарен любому — ответ «да».

Если $\vec{a} \ne \vec{0}$ , то по лемме о коллинеарных векторах $\vec{b} = k\vec{a}$ . Тогда $\vec{a} + 3\vec{b} = \vec{a} + 3k\vec{a} = (1 + 3k)\vec{a}$ — это произведение вектора $\vec{a}$ на число, а такой вектор коллинеарен $\vec{a}$ .

Ответ

Да, коллинеарны

Почему так

По лемме b = ka, поэтому a + 3b = (1 + 3k)a — вектор, коллинеарный a.

Подробнее — в теме «Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам».

Задача 2

Условие (кратко)

Векторы a и b коллинеарны. Коллинеарны ли векторы b − 2a и a? Ответ обоснуйте.

Решение

Дано

$\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны

Найти

коллинеарны ли $\vec{b} - 2\vec{a}$ и $\vec{a}$

Если $\vec{a} = \vec{0}$ , ответ «да»: нулевой вектор коллинеарен любому.

Если $\vec{a} \ne \vec{0}$ , то $\vec{b} = k\vec{a}$ , и $\vec{b} - 2\vec{a} = (k - 2)\vec{a}$ — вектор, коллинеарный $\vec{a}$ .