Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 93

Упражнение 1001 к § 93

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что если векторы a и b не коллинеарны, то векторы a + b и a − b не коллинеарны.

Решение

Дано: $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны. Доказать: $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ не коллинеарны.

Неколлинеарные векторы ненулевые и не равны друг другу, поэтому $\vec{a} - \vec{b} \ne \vec{0}$ .
Предположим противное: векторы коллинеарны. Тогда по лемме о коллинеарных векторах $\vec{a} + \vec{b} = k(\vec{a} - \vec{b})$ , откуда $(1 - k)\vec{a} + (1 + k)\vec{b} = \vec{0}$ .
Нулевой вектор раскладывается по $\vec{a}$ и $\vec{b}$ как $0 \cdot \vec{a} + 0 \cdot \vec{b}$ , а коэффициенты разложения по неколлинеарным векторам единственны. Значит, $$1 - k = 0$$ и $$1 + k = 0$$ , то есть $$k = 1$$ и $$k = -1$$ одновременно — противоречие.
Следовательно, $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ не коллинеарны.

Ответ

Утверждение доказано (методом от противного)

Почему так

Из коллинеарности получилось бы разложение нулевого вектора с ненулевыми коэффициентами, что противоречит единственности разложения.

Условие (кратко)

Докажите, что если векторы a и b не коллинеарны, то векторы 2a − b и a + b не коллинеарны.

Решение

Дано: $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны. Доказать: $2\vec{a} - \vec{b}$ и $\vec{a} + \vec{b}$ не коллинеарны.

$\vec{a} + \vec{b} \ne \vec{0}$ : иначе $\vec{b} = -\vec{a}$ и векторы были бы коллинеарны.
Пусть векторы коллинеарны. По лемме $2\vec{a} - \vec{b} = k(\vec{a} + \vec{b})$ , откуда $(2 - k)\vec{a} + (-1 - k)\vec{b} = \vec{0}$ .
По единственности разложения по неколлинеарным векторам $$2 - k = 0$$ и $$-1 - k = 0$$ , то есть $$k = 2$$ и $$k = -1$$ — противоречие.
Значит, векторы не коллинеарны.

Ответ

Утверждение доказано (методом от противного)

Почему так

Коэффициенты разложения нулевого вектора по неколлинеарным векторам обязаны быть нулями, а здесь это невозможно.

Условие (кратко)

Докажите, что если векторы a и b не коллинеарны, то векторы a + b и a + 3b не коллинеарны.

Решение

Дано: $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны. Доказать: $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} + 3\vec{b}$ не коллинеарны.

$\vec{a} + 3\vec{b} \ne \vec{0}$ : иначе $\vec{a} = -3\vec{b}$ и векторы были бы коллинеарны.
Пусть векторы коллинеарны. По лемме $\vec{a} + \vec{b} = k(\vec{a} + 3\vec{b})$ , откуда $(1 - k)\vec{a} + (1 - 3k)\vec{b} = \vec{0}$ .
По единственности разложения $$1 - k = 0$$ и $$1 - 3k = 0$$ , то есть $$k = 1$$ и $k = \dfrac{1}{3}$ — противоречие.
Значит, векторы не коллинеарны.

Ответ

Утверждение доказано (методом от противного)

Почему так

Лемма о коллинеарных векторах и единственность разложения приводят к противоречию.