Задача 1
Условие (кратко)
Точка M лежит на диагонали AC параллелограмма ABCD, AM : MC = 4 : 1. Разложите вектор AM по векторам a = AB и b = AD.
Решение
Дано
- \(ABCD\) — параллелограмм
- \(M \in AC\)
- \(AM : MC = 4 : 1\)
- \(\vec{a} = \overrightarrow{AB}\)
- \(\vec{b} = \overrightarrow{AD}\)
Найти
- разложение \(\overrightarrow{AM}\) по \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\)
- По правилу параллелограмма \(\overrightarrow{AC} = \vec{a} + \vec{b}\).
- \(AM\) составляет \(\dfrac{4}{4 + 1} = \dfrac{4}{5}\) диагонали \(AC\), векторы сонаправлены, поэтому \(\overrightarrow{AM} = \dfrac{4}{5}\overrightarrow{AC}\).
- \(\overrightarrow{AM} = \dfrac{4}{5}(\vec{a} + \vec{b}) = \dfrac{4}{5}\vec{a} + \dfrac{4}{5}\vec{b}\).
Ответ
AM = 4/5 a + 4/5 b
Почему так
Диагональ AC раскладывается по правилу параллелограмма, а AM — это 4/5 вектора AC.
Подробнее — в теме «Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам».