Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 93

Упражнение 1003 к § 93

§ 93. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам · тема: Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Задача 1

Условие (кратко)

Векторы a и b не коллинеарны. Найдите x и y из равенства 3a − xb = ya + b.

Решение

Дано

$\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны
$3\vec{a} - x\vec{b} = y\vec{a} + \vec{b}$

Найти

$$x$$
$$y$$

Слева и справа записано разложение одного и того же вектора по неколлинеарным векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$ . Коэффициенты разложения единственны, поэтому они равны: при $\vec{a}$ — $$3 = y$$ , при $\vec{b}$ — $$-x = 1$$ .

Значит, $$x = -1$$ , $$y = 3$$ .

Ответ

x = −1, y = 3

Почему так

Коэффициенты разложения вектора по двум неколлинеарным векторам определяются единственным образом.

Подробнее — в теме «Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам».

Задача 2

Условие (кратко)

Векторы a и b не коллинеарны. Найдите x и y из равенства 4a − xa + 5b + yb = 0.

Решение

Дано

$\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны
$4\vec{a} - x\vec{a} + 5\vec{b} + y\vec{b} = \vec{0}$

Найти

$$x$$
$$y$$

Сгруппируем: $(4 - x)\vec{a} + (5 + y)\vec{b} = \vec{0}$ . Нулевой вектор раскладывается как $0 \cdot \vec{a} + 0 \cdot \vec{b}$ , и это разложение единственно. Поэтому $$4 - x = 0$$ , $$5 + y = 0$$ .

$$x = 4$$ , $$y = -5$$ .

Ответ

x = 4, y = −5

Почему так

Разложение нулевого вектора по неколлинеарным векторам — только с нулевыми коэффициентами.

Подробнее — в теме «Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам».

Задача 3

Условие (кратко)

Векторы a и b не коллинеарны. Найдите x и y из равенства xa + 3b − yb = 0.

Решение

Дано

$\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны
$x\vec{a} + 3\vec{b} - y\vec{b} = \vec{0}$

Найти

$$x$$
$$y$$

$x\vec{a} + (3 - y)\vec{b} = \vec{0}$ , поэтому $$x = 0$$ и $$3 - y = 0$$ .

$$x = 0$$ , $$y = 3$$ .

Ответ

x = 0, y = 3

Почему так

Коэффициенты разложения нулевого вектора по неколлинеарным векторам равны нулю.

Подробнее — в теме «Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам».

Задача 4

Условие (кратко)

Векторы a и b не коллинеарны. Найдите x и y из равенства a + b − 3ya + xb = 0.

Решение

Дано

$\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны
$\vec{a} + \vec{b} - 3y\vec{a} + x\vec{b} = \vec{0}$

Найти

$$x$$
$$y$$

$(1 - 3y)\vec{a} + (1 + x)\vec{b} = \vec{0}$ , поэтому $$1 - 3y = 0$$ и $$1 + x = 0$$ .

$$x = -1$$ , $y = \dfrac{1}{3}$ .

Ответ

x = −1, y = 1/3

Почему так

Оба коэффициента разложения нулевого вектора по неколлинеарным векторам должны быть равны нулю.

Подробнее — в теме «Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки