Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 93

Упражнение 998 к § 93

§ 93. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам · тема: Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Задача 1

Условие (кратко)

Найдите число k, при котором n = km, если векторы m и n противоположно направлены, |m| = 0,5 см, |n| = 2 см.

Решение

Дано

$\vec{m} \uparrow\downarrow \vec{n}$
$|\vec{m}| = 0{,}5$ см
$|\vec{n}| = 2$ см

Найти

$$k$$
при котором $\vec{n} = k\vec{m}$

По лемме о коллинеарных векторах такое $$k$$ существует. Векторы направлены противоположно, поэтому $$k < 0$$ , а $|k| = \dfrac{|\vec{n}|}{|\vec{m}|} = \dfrac{2}{0{,}5} = 4$ .

Значит, $$k = -4$$ .

Ответ

k = −4

Почему так

Модуль k равен отношению длин векторов, а знак минус — потому что векторы противоположно направлены.

Подробнее — в теме «Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам».

Задача 2

Условие (кратко)

Найдите k, при котором n = km, если векторы m и n сонаправлены, |m| = 12 см, |n| = 24 дм.

Решение

Дано

$\vec{m} \uparrow\uparrow \vec{n}$
$|\vec{m}| = 12$ см
$|\vec{n}| = 24$ дм

Найти

$$k$$

Переведём длины в одни единицы: $$24$$ дм $$= 240$$ см.

Векторы сонаправлены, поэтому $$k > 0$$ : $k = \dfrac{|\vec{n}|}{|\vec{m}|} = \dfrac{240}{12} = 20$ .

Ответ

k = 20

Почему так

Перед делением длины переводят в одни единицы; у сонаправленных векторов k положительно.

Подробнее — в теме «Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам».

Задача 3

Условие (кратко)

Найдите k, при котором n = km, если векторы m и n противоположно направлены, |m| = 400 мм, |n| = 4 дм.

Решение

Дано

$\vec{m} \uparrow\downarrow \vec{n}$
$|\vec{m}| = 400$ мм
$|\vec{n}| = 4$ дм

Найти

$$k$$

$$400$$ мм $$= 40$$ см, $$4$$ дм $$= 40$$ см — длины равны, поэтому $$|k| = 1$$ .

Векторы противоположно направлены, значит, $$k = -1$$ : $\vec{n} = -\vec{m}$ .

Ответ

k = −1

Почему так

Векторы равной длины и противоположного направления — противоположные, n = −m.

Подробнее — в теме «Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам».

Задача 4

Условие (кратко)

Найдите k, при котором n = km, если векторы m и n сонаправлены, |m| = √2 см, |n| = √50 см.

Решение

Дано

$\vec{m} \uparrow\uparrow \vec{n}$
$|\vec{m}| = \sqrt{2}$ см
$|\vec{n}| = \sqrt{50}$ см

Найти

$$k$$

$k = \dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\dfrac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5$ ; знак плюс, так как векторы сонаправлены.

Ответ

k = 5

Почему так

У сонаправленных векторов k равно отношению длин.

Подробнее — в теме «Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки