Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 93

Упражнение 999 к § 93

§ 93. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам · тема: Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Задача 1

Условие (кратко)

Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, M — середина AO. Найдите k, если AC = k·AO (векторы).

Решение

Дано

$$ABCD$$ — параллелограмм
$$O$$ — точка пересечения диагоналей
$$M$$ — середина $$AO$$

Найти

$$k$$
при котором $\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AO}$

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому $$AC = 2AO$$ . Векторы $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AO}$ сонаправлены, значит, $\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AO}$ .

Ответ

k = 2

Почему так

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, и векторы AC и AO сонаправлены.

Подробнее — в теме «Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам».

Задача 2

Условие (кратко)

В той же фигуре (параллелограмм ABCD, O — точка пересечения диагоналей) найдите k, если BO = k·BD (векторы).

Решение

Дано

$$ABCD$$ — параллелограмм
$$O$$ — точка пересечения диагоналей

Найти

$$k$$
при котором $\overrightarrow{BO} = k\overrightarrow{BD}$

$$O$$ — середина $$BD$$ , поэтому $BO = \dfrac{1}{2}BD$ , а векторы $\overrightarrow{BO}$ и $\overrightarrow{BD}$ сонаправлены. Значит, $k = \dfrac{1}{2}$ .

Ответ

k = 1/2

Почему так

Точка O — середина диагонали BD, векторы BO и BD сонаправлены.

Подробнее — в теме «Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам».

Задача 3

Условие (кратко)

Параллелограмм ABCD, O — точка пересечения диагоналей. Найдите k, если OC = k·CA (векторы).

Решение

Дано

$$ABCD$$ — параллелограмм
$$O$$ — точка пересечения диагоналей

Найти

$$k$$
при котором $\overrightarrow{OC} = k\overrightarrow{CA}$

$OC = \dfrac{1}{2}CA$ , но вектор $\overrightarrow{OC}$ направлен от $$O$$ к $$C$$ , а $\overrightarrow{CA}$ — от $$C$$ к $$A$$ , то есть противоположно. Поэтому $k = -\dfrac{1}{2}$ .

Ответ

k = −1/2

Почему так

Длина OC — половина CA, а направления векторов противоположны, поэтому k отрицательно.

Подробнее — в теме «Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам».

Задача 4

Условие (кратко)

Параллелограмм ABCD. Найдите k, если AB = k·DC (векторы).

Решение

Дано

$$ABCD$$ — параллелограмм

Найти

$$k$$
при котором $\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{DC}$

Противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, а векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{DC}$ сонаправлены. Значит, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ и $$k = 1$$ .

Ответ

k = 1

Почему так

Векторы AB и DC параллелограмма равны.

Подробнее — в теме «Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам».

Задача 5

Условие (кратко)

Параллелограмм ABCD. Найдите k, если BC = k·DA (векторы).

Решение

Дано

$$ABCD$$ — параллелограмм

Найти

$$k$$
при котором $\overrightarrow{BC} = k\overrightarrow{DA}$

$$BC = DA$$ и $BC \parallel DA$ , но вектор $\overrightarrow{BC}$ направлен так же, как $\overrightarrow{AD}$ , то есть противоположно $\overrightarrow{DA}$ . Значит, $\overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{DA}$ , $$k = -1$$ .

Ответ

k = −1

Почему так

Векторы BC и DA имеют равные длины и противоположные направления.

Подробнее — в теме «Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам».

Задача 6

Условие (кратко)

Параллелограмм ABCD, O — точка пересечения диагоналей, M — середина AO. Найдите k, если AM = k·CA (векторы).

Решение

Дано

$$O$$ — середина $$AC$$
$$M$$ — середина $$AO$$

Найти

$$k$$
при котором $\overrightarrow{AM} = k\overrightarrow{CA}$

$AM = \dfrac{1}{2}AO = \dfrac{1}{4}AC$ . Вектор $\overrightarrow{AM}$ направлен от $$A$$ к $$C$$ , а $\overrightarrow{CA}$ — от $$C$$ к $$A$$ , противоположно. Поэтому $k = -\dfrac{1}{4}$ .

Ответ

k = −1/4

Почему так

AM составляет четверть диагонали AC, а вектор CA направлен противоположно AM.

Подробнее — в теме «Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам».

Задача 7

Условие (кратко)

Параллелограмм ABCD, O — точка пересечения диагоналей, M — середина AO. Найдите k, если MC = k·AM (векторы).

Решение

Дано

$$O$$ — середина $$AC$$
$$M$$ — середина $$AO$$

Найти

$$k$$
при котором $\overrightarrow{MC} = k\overrightarrow{AM}$

Пусть $$AM = x$$ , тогда $$AO = 2x$$ , $$AC = 4x$$ , $$MC = 4x - x = 3x$$ . Векторы $\overrightarrow{MC}$ и $\overrightarrow{AM}$ сонаправлены (оба от $$A$$ к $$C$$ ), поэтому $k = \dfrac{3x}{x} = 3$ .

Ответ

k = 3

Почему так

Точка M делит AC в отношении 1 : 3, и векторы AM и MC сонаправлены.

Подробнее — в теме «Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам».

Задача 8

Условие (кратко)

Параллелограмм ABCD, O — точка пересечения диагоналей, M — середина AO. Найдите k, если AC = k·CM (векторы).

Решение

Дано

$$O$$ — середина $$AC$$
$$M$$ — середина $$AO$$

Найти

$$k$$
при котором $\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{CM}$

Как в предыдущем пункте, $CM = \dfrac{3}{4}AC$ , то есть $AC = \dfrac{4}{3}CM$ . Вектор $\overrightarrow{CM}$ направлен от $$C$$ к $$A$$ , противоположно $\overrightarrow{AC}$ . Значит, $k = -\dfrac{4}{3}$ .

Ответ

k = −4/3

Почему так

Отношение длин AC : CM = 4 : 3, а направления векторов противоположны.

Подробнее — в теме «Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам».

Задача 9

Условие (кратко)

Параллелограмм ABCD, O — точка пересечения диагоналей. Найдите, если возможно, k, при котором AO = k·BD (векторы).

Решение

Дано

$$ABCD$$ — параллелограмм
$$O$$ — точка пересечения диагоналей

Найти

$$k$$
при котором $\overrightarrow{AO} = k\overrightarrow{BD}$

Вектор $k\overrightarrow{BD}$ при любом $$k$$ коллинеарен $\overrightarrow{BD}$ , то есть лежит на прямой $$BD$$ или параллельной ей. Вектор $\overrightarrow{AO}$ ненулевой и лежит на диагонали $$AC$$ , которая пересекает $$BD$$ , а не параллельна ей. Векторы не коллинеарны, поэтому такого $$k$$ нет.

Ответ

Такого числа k не существует

Почему так

Равенство a = kb возможно только для коллинеарных векторов, а AO и BD лежат на пересекающихся диагоналях.

Подробнее — в теме «Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Задача 7

Задача 8

Задача 9

Похожие задачи для тренировки