Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 94

Упражнение 1005 к § 94

§ 94. Координаты вектора · тема: Координаты вектора

Задача 1

Условие (кратко)

Разложите по координатным векторам i и j вектор a, изображённый на рисунке 309, а (вектор отложен от O, его конец — на 2 клетки вправо и 3 вверх), и найдите его координаты.

Решение

Дано

вектор $\vec{a}$ отложен от начала координат
его конец — точка $$(2; 3)$$ (одна клетка — единичный отрезок)

Найти

разложение $\vec{a}$ по $\vec{i}$
$\vec{j}$ и координаты

Чтобы пройти от начала до конца вектора, нужно сместиться на 2 единицы вдоль $\vec{i}$ и на 3 единицы вдоль $\vec{j}$ : $\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}$ .

Коэффициенты разложения — координаты: $\vec{a}\{2; 3\}$ .

Ответ

a = 2i + 3j, a{2; 3}

Почему так

Координаты вектора — коэффициенты его разложения по координатным векторам i и j.

Подробнее — в теме «Координаты вектора».

Задача 2

Условие (кратко)

По рисунку 309, б разложите по i и j векторы b (из O на 2 клетки влево и 3 вверх) и c (горизонтальный, 2 клетки вправо) и найдите их координаты.

Решение

Дано

$\vec{b}$ идёт на 2 единицы влево и на 3 вверх
$\vec{c}$ — на 2 единицы вправо по горизонтали

Найти

разложения и координаты

Смещение влево — отрицательное число при $\vec{i}$ : $\vec{b} = -2\vec{i} + 3\vec{j}$ , $\vec{b}\{-2; 3\}$ .

У $\vec{c}$ нет смещения по вертикали: $\vec{c} = 2\vec{i} + 0 \cdot \vec{j} = 2\vec{i}$ , $\vec{c}\{2; 0\}$ . Начало $\vec{c}$ не в точке $$O$$ , но координаты от этого не зависят — важно только смещение от начала к концу.

Ответ

b = −2i + 3j, b{−2; 3}; c = 2i, c{2; 0}

Почему так

Координата отрицательна, если смещение вдоль оси идёт против её направления.

Подробнее — в теме «Координаты вектора».

Задача 3

Условие (кратко)

По рисунку 309, в разложите по i и j векторы d (3 клетки влево, 4 вниз), e (2 вправо, 2 вниз) и f (4 влево, 5 вниз) и найдите их координаты.

Решение

Дано

смещения по клеткам: $\vec{d}$ — 3 влево и 4 вниз
$\vec{e}$ — 2 вправо и 2 вниз
$\vec{f}$ — 4 влево и 5 вниз

Найти

разложения и координаты

Влево и вниз — против направления осей, поэтому коэффициенты отрицательные:

$\vec{d} = -3\vec{i} - 4\vec{j}$ , $\vec{d}\{-3; -4\}$ ;

$\vec{e} = 2\vec{i} - 2\vec{j}$ , $\vec{e}\{2; -2\}$ ;

$\vec{f} = -4\vec{i} - 5\vec{j}$ , $\vec{f}\{-4; -5\}$ .

Ответ

d = −3i − 4j, d{−3; −4}; e = 2i − 2j, e{2; −2}; f = −4i − 5j, f{−4; −5}

Почему так

Координаты вектора — это его смещения вдоль осей Ox и Oy со знаком.

Подробнее — в теме «Координаты вектора».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Похожие задачи для тренировки