Координаты вектора

В навигаторе маршрут часто описывают так: «300 м на восток, 200 м на север». Два числа полностью задают перемещение. Координаты вектора — ровно такая запись: сколько единиц вдоль оси \(Ox\) и сколько вдоль оси \(Oy\).

Координатные векторы

Возьмём прямоугольную систему координат. От начала \(O\) отложим два единичных вектора (длиной 1): \(\vec{i}\) — по направлению оси \(Ox\), \(\vec{j}\) — по направлению оси \(Oy\). Их называют координатными векторами.

\(\vec{i}\) и \(\vec{j}\) не коллинеарны, поэтому по теореме о разложении любой вектор плоскости можно записать единственным образом:

Коэффициенты \(x\) и \(y\) называют координатами вектора \(\vec{p}\) и пишут в фигурных скобках: \(\vec{p}\{x; y\}\). Первая — по оси \(Ox\), вторая — по оси \(Oy\).

Как найти координаты по клетчатому рисунку: посчитайте, на сколько единиц смещается конец вектора относительно начала по горизонтали и по вертикали. Вправо и вверх — плюс, влево и вниз — минус. Где начало вектора, не важно: важно только смещение.

Несколько частных случаев:

• \(\vec{i}\{1; 0\}\), \(\vec{j}\{0; 1\}\);
• нулевой вектор: \(\vec{0} = 0 \cdot \vec{i} + 0 \cdot \vec{j}\), поэтому \(\vec{0}\{0; 0\}\);
• если в записи нет слагаемого с \(\vec{j}\), вторая координата равна нулю: \(-4\vec{i}\) имеет координаты \(\{-4; 0\}\).

Равные векторы

Если \(\vec{a} = \vec{b}\), то их разложения по \(\vec{i}\) и \(\vec{j}\) совпадают (оно единственно). Значит, координаты равных векторов соответственно равны. Верно и обратное: векторы с одинаковыми координатами равны.

Действия в координатах

Пусть \(\vec{a}\{x_1; y_1\}\) и \(\vec{b}\{x_2; y_2\}\), то есть \(\vec{a} = x_1\vec{i} + y_1\vec{j}\), \(\vec{b} = x_2\vec{i} + y_2\vec{j}\).

1. Сумма. \(\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2)\vec{i} + (y_1 + y_2)\vec{j}\), поэтому \(\vec{a} + \vec{b}\,\{x_1 + x_2; y_1 + y_2\}\). Так же и для трёх, четырёх слагаемых.
2. Разность. \(\vec{a} - \vec{b}\,\{x_1 - x_2; y_1 - y_2\}\).
3. Умножение на число. \(k\vec{a} = kx_1\vec{i} + ky_1\vec{j}\), поэтому \(k\vec{a}\,\{kx_1; ky_1\}\). В частности, противоположный вектор \(-\vec{a}\) имеет координаты \(\{-x_1; -y_1\}\).

Эти правила позволяют найти координаты любого выражения вроде \(3\vec{a} - 2\vec{b} + \vec{c}\): каждую координату считаем отдельно, как обычное число.

Коллинеарность в координатах

По лемме о коллинеарных векторах \(\vec{b} = k\vec{a}\), а по правилу 3 это значит \(x_2 = kx_1\), \(y_2 = ky_1\). Итак, у коллинеарных векторов координаты пропорциональны, и наоборот: если координаты пропорциональны, векторы коллинеарны. Например, \(\{3; 7\}\) и \(\{6; 14\}\) коллинеарны, а \(\{3; 7\}\) и \(\{2; 4\}\) — нет.

Как решать задачи

1. Вектор задан разложением \(x\vec{i} + y\vec{j}\) — выпишите коэффициенты, отсутствующий считайте нулём.
2. Нужно найти координаты выражения — сначала умножьте каждый вектор на его число, потом сложите (вычтите) первые координаты отдельно, вторые отдельно.
3. Равенство двух разложений по \(\vec{i}\) и \(\vec{j}\) — приравняйте коэффициенты при \(\vec{i}\) и при \(\vec{j}\).
4. Проверка коллинеарности — проверьте, пропорциональны ли координаты.