Задача 1
Докажите, что если два вектора коллинеарны, то координаты одного пропорциональны координатам другого. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
Решение
Дано: \(\vec{a}\{x_1; y_1\}\) и \(\vec{b}\{x_2; y_2\}\) коллинеарны. Доказать: существует число \(k\), при котором \(x_2 = kx_1\), \(y_2 = ky_1\) (или наоборот: \(x_1 = kx_2\), \(y_1 = ky_2\)).
- Если оба вектора нулевые, подходит любое \(k\). Иначе хотя бы один из них ненулевой — пусть это \(\vec{a}\).
- По лемме о коллинеарных векторах \(\vec{b} = k\vec{a}\).
- По правилу умножения вектора на число вектор \(k\vec{a}\) имеет координаты \(\{kx_1; ky_1\}\). Координаты равных векторов равны, поэтому \(x_2 = kx_1\), \(y_2 = ky_1\) — координаты пропорциональны.
Обратное утверждение: если координаты вектора \(\vec{b}\) пропорциональны координатам вектора \(\vec{a}\), то есть \(x_2 = kx_1\), \(y_2 = ky_1\), то векторы коллинеарны.
Доказательство. Вектор \(k\vec{a}\) имеет координаты \(\{kx_1; ky_1\} = \{x_2; y_2\}\). Векторы с равными координатами равны (у них одинаковое разложение по \(\vec{i}\) и \(\vec{j}\)), значит, \(\vec{b} = k\vec{a}\). А вектор \(k\vec{a}\) по определению произведения вектора на число коллинеарен \(\vec{a}\).
Ответ
Прямое утверждение следует из леммы о коллинеарных векторах, обратное — из правила координат произведения вектора на число.
Подробнее — в теме «Координаты вектора».