Задача 1
Условие (кратко)
Даны векторы a{3; 7}, b{−2; 1}, c{6; 14}, d{2; −1}, e{2; 4}. Укажите среди них попарно коллинеарные.
Решение
Дано
- \(\vec{a}\{3; 7\}\)
- \(\vec{b}\{-2; 1\}\)
- \(\vec{c}\{6; 14\}\)
- \(\vec{d}\{2; -1\}\)
- \(\vec{e}\{2; 4\}\)
Найти
- пары коллинеарных векторов
Векторы коллинеарны, если координаты одного пропорциональны координатам другого (задача 1014).
- \(\vec{c}\{6; 14\} = 2 \cdot \{3; 7\}\), то есть \(\vec{c} = 2\vec{a}\) — коллинеарны.
- \(\vec{d}\{2; -1\} = -1 \cdot \{-2; 1\}\), то есть \(\vec{d} = -\vec{b}\) — коллинеарны.
- Остальные пары не коллинеарны: у \(\vec{e}\{2; 4\}\) вторая координата вдвое больше первой, у \(\vec{a}\) и \(\vec{c}\) — в \(\dfrac{7}{3}\) раза, а у \(\vec{b}\) и \(\vec{d}\) координаты разных знаков, так что \(\vec{e}\) ни с одним вектором не коллинеарен. Пара \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) тоже: \(\dfrac{-2}{3} \ne \dfrac{1}{7}\).
Ответ
a и c (c = 2a); b и d (d = −b)
Почему так
Коллинеарность векторов проверяют пропорциональностью их координат.
Подробнее — в теме «Координаты вектора».