Задача 1
Начертите квадрат MNPQ так, чтобы вершина P имела координаты (−3; 3), а диагонали пересекались в начале координат. Найдите координаты точек M, N и Q.
Решение
- \(MNPQ\) — квадрат
- \(P(-3; 3)\)
- диагонали пересекаются в точке \(O(0; 0)\)
- координаты \(M\)
- \(N\)
- \(Q\)
-
Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(\overrightarrow{OM} = -\overrightarrow{OP}\). Радиус-вектор точки \(P\) имеет координаты \(\{-3; 3\}\), значит, \(M(3; -3)\).
-
Диагонали квадрата равны и перпендикулярны. Диагональ \(MP\) лежит на прямой \(y = -x\) (биссектрисе II и IV четвертей), значит, \(NQ\) лежит на биссектрисе I и III четвертей, и \(ON = OQ = OP\). Точки на этой прямой на том же расстоянии от \(O\), что и \(P\): \((3; 3)\) и \((-3; -3)\).
-
Какая из них \(N\), зависит от направления обхода: \(N(3; 3)\), \(Q(-3; -3)\) или \(N(-3; -3)\), \(Q(3; 3)\).
Чертёж: отметьте четыре точки и соедините по порядку \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) — получится квадрат со стороной 6.
Ответ
Диагонали квадрата равны, перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому вершины симметричны относительно начала координат.
Подробнее — в теме «Простейшие задачи в координатах».