Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 96

Упражнение 1023 к § 96

§ 96. Простейшие задачи в координатах · тема: Простейшие задачи в координатах

Задача 1

Условие (кратко)

Таблица, столбец 1. Даны A(2; −3) и B(−3; 1). Найдите координаты середины M отрезка AB.

Решение

Дано

$$A(2; -3)$$
$$B(-3; 1)$$
$$M$$ — середина $$AB$$

Найти

координаты $$M$$

Каждая координата середины — полусумма координат концов: $x = \dfrac{2 + (-3)}{2} = -\dfrac{1}{2}$ , $y = \dfrac{-3 + 1}{2} = -1$ .

Ответ

M(−1/2; −1)

Почему так

Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

Подробнее — в теме «Простейшие задачи в координатах».

Задача 2

Условие (кратко)

Таблица, столбец 2. Даны B(4; 7) и середина M(−3; −2) отрезка AB. Найдите координаты точки A.

Решение

Дано

$$B(4; 7)$$
$$M(-3; -2)$$ — середина $$AB$$

Найти

$$A(x; y)$$

$\dfrac{x + 4}{2} = -3$ , откуда $$x + 4 = -6$$ , $$x = -10$$ .
$\dfrac{y + 7}{2} = -2$ , откуда $$y + 7 = -4$$ , $$y = -11$$ .

Ответ

A(−10; −11)

Почему так

Из формулы середины x = (x₁ + x₂)/2 неизвестный конец находится как x₁ = 2x − x₂.

Подробнее — в теме «Простейшие задачи в координатах».

Задача 3

Условие (кратко)

Таблица, столбец 3. Даны A(0; 1) и середина M(3; −5) отрезка AB. Найдите координаты точки B.

Решение

Дано

$$A(0; 1)$$
$$M(3; -5)$$ — середина $$AB$$

Найти

$$B(x; y)$$

$\dfrac{0 + x}{2} = 3$ , $$x = 6$$ .
$\dfrac{1 + y}{2} = -5$ , $$1 + y = -10$$ , $$y = -11$$ .

Ответ

B(6; −11)

Почему так

Неизвестный конец отрезка равен удвоенной середине минус известный конец.

Подробнее — в теме «Простейшие задачи в координатах».

Задача 4

Условие (кратко)

Таблица, столбец 4. Даны A(0; 0) и B(−3; 7). Найдите координаты середины M отрезка AB.

Решение

Дано

$$A(0; 0)$$
$$B(-3; 7)$$

Найти

середину $$M$$ отрезка $$AB$$

$x = \dfrac{0 + (-3)}{2} = -1{,}5$ , $y = \dfrac{0 + 7}{2} = 3{,}5$ .

Ответ

M(−1,5; 3,5)

Почему так

Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

Подробнее — в теме «Простейшие задачи в координатах».

Задача 5

Условие (кратко)

Таблица, столбец 5. Даны A(c; d) и середина M(a; b) отрезка AB. Найдите координаты точки B.

Решение

Дано

$$A(c; d)$$
$$M(a; b)$$ — середина $$AB$$

Найти

$$B(x; y)$$

$\dfrac{c + x}{2} = a$ , $\dfrac{d + y}{2} = b$ , откуда $$x = 2a - c$$ , $$y = 2b - d$$ .

Ответ

B(2a − c; 2b − d)

Почему так

Неизвестный конец отрезка равен удвоенной середине минус известный конец.

Подробнее — в теме «Простейшие задачи в координатах».

Задача 6

Условие (кратко)

Таблица, столбец 6. Даны A(3; 5) и B(3; 8). Найдите координаты середины M отрезка AB.

Решение

Дано

$$A(3; 5)$$
$$B(3; 8)$$

Найти

середину $$M$$

$x = \dfrac{3 + 3}{2} = 3$ , $y = \dfrac{5 + 8}{2} = 6{,}5$ .

Ответ

M(3; 6,5)

Почему так

Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

Подробнее — в теме «Простейшие задачи в координатах».

Задача 7

Условие (кратко)

Таблица, столбец 7. Даны A(3t + 5; 7) и B(t + 7; −7). Найдите координаты середины M отрезка AB.

Решение

Дано

$$A(3t + 5; 7)$$
$$B(t + 7; -7)$$

Найти

середину $$M$$

$x = \dfrac{3t + 5 + t + 7}{2} = \dfrac{4t + 12}{2} = 2t + 6$ , $y = \dfrac{7 + (-7)}{2} = 0$ .

Ответ

M(2t + 6; 0)

Почему так

Формула полусуммы работает и с буквенными координатами — после неё нужно привести подобные.

Подробнее — в теме «Простейшие задачи в координатах».

Задача 8

Условие (кратко)

Таблица, столбец 8. Даны A(1; 3) и середина M(0; 0) отрезка AB. Найдите координаты точки B.

Решение

Дано

$$A(1; 3)$$
$$M(0; 0)$$ — середина $$AB$$

Найти

$$B(x; y)$$

$\dfrac{1 + x}{2} = 0$ , $$x = -1$$ ; $\dfrac{3 + y}{2} = 0$ , $$y = -3$$ . Точка $$B$$ симметрична $$A$$ относительно начала координат.

Ответ

B(−1; −3)

Почему так

Если середина отрезка — начало координат, концы имеют противоположные координаты.

Подробнее — в теме «Простейшие задачи в координатах».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Задача 7

Задача 8

Похожие задачи для тренировки