Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что треугольник ABC равнобедренный, и найдите его площадь, если A(0; 1), B(1; −4), C(5; 2).
Решение
Дано
- \(A(0; 1)\)
- \(B(1; -4)\)
- \(C(5; 2)\). Доказать: \(\triangle ABC\) равнобедренный
Найти
- \(S_{ABC}\)
-
\(AB = \sqrt{(1 - 0)^2 + (-4 - 1)^2} = \sqrt{26}\), \(AC = \sqrt{(5 - 0)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{26}\), \(BC = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{52}\).
-
\(AB = AC\), значит, треугольник равнобедренный с основанием \(BC\).
-
Высота к основанию — это медиана \(AK\), где \(K\) — середина \(BC\): \(K(3; -1)\), \(AK = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{13}\).
-
\(S = \dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot AK = \dfrac{1}{2}\sqrt{52} \cdot \sqrt{13} = \dfrac{1}{2}\sqrt{676} = \dfrac{26}{2} = 13\).
Ответ
AB = AC = √26, S = 13
Почему так
Равенство сторон проверяем формулой расстояния, а высоту к основанию находим как медиану.
Подробнее — в теме «Простейшие задачи в координатах».