Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 96

Упражнение 1034 к § 96

§ 96. Простейшие задачи в координатах · тема: Простейшие задачи в координатах

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что MNPQ — параллелограмм, и найдите его диагонали, если M(1; 1), N(6; 1), P(7; 4), Q(2; 4).

Решение

Дано

$\(M(1; 1)\)$
$\(N(6; 1)\)$
$\(P(7; 4)\)$
$\(Q(2; 4)\)$ . Доказать: $\(MNPQ\)$ — параллелограмм

Найти

$\(MP\)$
$\(NQ\)$

Середина $\(MP\)$ : $\left(\dfrac{1 + 7}{2}; \dfrac{1 + 4}{2}\right) = (4; 2{,}5)$ . Середина $\(NQ\)$ : $\left(\dfrac{6 + 2}{2}; \dfrac{1 + 4}{2}\right) = (4; 2{,}5)$ .
Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам — по признаку $\(MNPQ\)$ параллелограмм. (Можно и так: $\overrightarrow{MN}\{5; 0\} = \overrightarrow{QP}\{5; 0\}$ .)
$MP = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ , $NQ = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = 5$ .

Ответ

MP = 3√5, NQ = 5

Почему так

Совпадение середин диагоналей — признак параллелограмма, а длины диагоналей дают формулы расстояния.

Подробнее — в теме «Простейшие задачи в координатах».

Задача 2

Условие (кратко)

Докажите, что MNPQ — параллелограмм, и найдите его диагонали, если M(−5; 1), N(−4; 4), P(−1; 5), Q(−2; 2).

Решение

Дано

$\(M(-5; 1)\)$
$\(N(-4; 4)\)$
$\(P(-1; 5)\)$
$\(Q(-2; 2)\)$ . Доказать: $\(MNPQ\)$ — параллелограмм

Найти

$\(MP\)$
$\(NQ\)$

Середина $\(MP\)$ : $\left(\dfrac{-5 - 1}{2}; \dfrac{1 + 5}{2}\right) = (-3; 3)$ . Середина $\(NQ\)$ : $\left(\dfrac{-4 - 2}{2}; \dfrac{4 + 2}{2}\right) = (-3; 3)$ .
Диагонали делятся точкой пересечения пополам, значит, $\(MNPQ\)$ — параллелограмм.
$MP = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}$ , $NQ = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = 2\sqrt{2}$ .

Ответ

MP = 4√2, NQ = 2√2

Почему так

Совпадение середин диагоналей — признак параллелограмма, а длины диагоналей дают формулы расстояния.

Подробнее — в теме «Простейшие задачи в координатах».

Похожие задачи для тренировки

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/geometriya-9-atanasyan/p96/upr-1034/