Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 96

Упражнение 1035 к § 96

§ 96. Простейшие задачи в координатах · тема: Простейшие задачи в координатах

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что ABCD — прямоугольник, и найдите его площадь, если A(−3; −1), B(1; −1), C(1; −3), D(−3; −3).

Решение

Дано

$\(A(-3; -1)\)$
$\(B(1; -1)\)$
$\(C(1; -3)\)$
$\(D(-3; -3)\)$ . Доказать: $\(ABCD\)$ — прямоугольник

Найти

$\(S\)$

Середина $\(AC\)$ : $\((-1; -2)\)$ , середина $\(BD\)$ : $\((-1; -2)\)$ — совпадают, значит, $\(ABCD\)$ — параллелограмм.
$AC = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{20}$ , $BD = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{20}$ . Параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник.
$AB = \sqrt{4^2 + 0^2} = 4$ , $BC = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = 2$ , $S = 4 \cdot 2 = 8$ .

Ответ

S = 8

Почему так

Общая середина диагоналей даёт параллелограмм, равные диагонали — прямоугольник, площадь — произведение соседних сторон.

Подробнее — в теме «Простейшие задачи в координатах».

Задача 2

Условие (кратко)

Докажите, что ABCD — прямоугольник, и найдите его площадь, если A(4; 1), B(3; 5), C(−1; 4), D(0; 0).

Решение

Дано

$\(A(4; 1)\)$
$\(B(3; 5)\)$
$\(C(-1; 4)\)$
$\(D(0; 0)\)$ . Доказать: $\(ABCD\)$ — прямоугольник

Найти

$\(S\)$

Середина $\(AC\)$ : $\((1{,}5; 2{,}5)\)$ , середина $\(BD\)$ : $\((1{,}5; 2{,}5)\)$ — $\(ABCD\)$ параллелограмм.
$AC = \sqrt{(-5)^2 + 3^2} = \sqrt{34}$ , $BD = \sqrt{(-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{34}$ — диагонали равны, это прямоугольник.
$AB = \sqrt{(-1)^2 + 4^2} = \sqrt{17}$ , $BC = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{17}$ , $S = \sqrt{17} \cdot \sqrt{17} = 17$ . (Соседние стороны равны — это даже квадрат.)

Ответ

S = 17

Почему так

Общая середина диагоналей даёт параллелограмм, равные диагонали — прямоугольник, площадь — произведение соседних сторон.

Подробнее — в теме «Простейшие задачи в координатах».

Похожие задачи для тренировки

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/geometriya-9-atanasyan/p96/upr-1035/