Задача 1
Карта 1 : 10 000, клетка 1 см (рис. 317): магазин (0; 7), кафе (−8; 1), столовая (8; 1), кондитерская (0; −5). Склад — середина отрезка магазин–кондитерская. Какой путь пройдёт курьер, обойдя четыре пункта и вернувшись?
Решение
- магазин \(M(0; 7)\)
- кафе \(K(-8; 1)\)
- столовая \(S(8; 1)\)
- кондитерская \(D(0; -5)\)
- склад \(W\) — середина \(MD\); масштаб \(1 : 10\,000\)
- длину кратчайшего маршрута \(W \to\) четыре пункта \(\to W\)
-
\(W\left(0; \dfrac{7 + (-5)}{2}\right) = W(0; 1)\).
-
Расстояния (см): \(WM = WD = 6\), \(WK = WS = 8\); \(MK = MS = DK = DS = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10\); \(MD = 12\), \(KS = 16\).
-
Маршрут состоит из двух отрезков от склада и трёх отрезков между пунктами. Три отрезка между четырьмя пунктами не короче \(3 \cdot 10 = 30\), и ровно 30 получается только при обходе по сторонам ромба \(MSDK\) — тогда концы пути соседние вершины, например \(M\) и \(K\), а дорога от склада и обратно \(6 + 8 = 14\). Итого \(44\).
-
Если использовать отрезок \(MD\) или \(KS\), сумма больше: например, \(W \to M \to K \to S \to D \to W\) даёт \(6 + 10 + 16 + 10 + 6 = 48\).
-
Кратчайший путь, например \(W \to M \to K \to D \to S \to W\): \(6 + 10 + 10 + 10 + 8 = 44\) см, на местности \(44 \cdot 100 = 4400\) м.
Ответ
Координаты склада дают формула середины, длины дорог — формула расстояния, затем сравниваем маршруты.
Подробнее — в теме «Простейшие задачи в координатах».