Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 96

Упражнение 1038 к § 96

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите методом координат, что середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех его вершин.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , $\angle C = 90^\circ$ , $$M$$ — середина $$AB$$ . Доказать: $$MA = MB = MC$$ .

Введём систему координат: начало в $$C$$ , ось $$Ox$$ по лучу $$CB$$ , ось $$Oy$$ по лучу $$CA$$ . При $$BC = a$$ , $$AC = b$$ : $$C(0; 0)$$ , $$B(a; 0)$$ , $$A(0; b)$$ .
Середина гипотенузы: $M\left(\dfrac{a}{2}; \dfrac{b}{2}\right)$ .
$MC = \sqrt{\dfrac{a^2}{4} + \dfrac{b^2}{4}} = \dfrac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2}$ .
$MA = \sqrt{\dfrac{a^2}{4} + \left(\dfrac{b}{2} - b\right)^2} = \dfrac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2}$ , и $$MB = MA$$ , так как $$M$$ — середина $$AB$$ .

Значит, $$MA = MB = MC$$ .

Ответ

Утверждение доказано: MA = MB = MC = ½√(a² + b²)

Почему так

Катеты кладём на оси, середину гипотенузы находим по формуле середины, расстояния — по формуле расстояния.