Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 96

Упражнение 1039 к § 96

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите методом координат, что сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей.

Решение

Дано: $$ABCD$$ — параллелограмм. Доказать: $$AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = AC^2 + BD^2$$ .

Начало координат — в $$A$$ , ось $$Ox$$ — по лучу $$AD$$ . Пусть $$AD = a$$ , $$B(b; c)$$ . Тогда $$D(a; 0)$$ , а так как $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}\{a; 0\}$ , то $$C(a + b; c)$$ .
$$AB^2 = b^2 + c^2$$ , $$AD^2 = a^2$$ , $$AC^2 = (a + b)^2 + c^2$$ , $$BD^2 = (a - b)^2 + c^2$$ .
Противоположные стороны равны, поэтому сумма квадратов сторон $$2(AB^2 + AD^2) = 2(a^2 + b^2 + c^2)$$ .
$$AC^2 + BD^2 = a^2 + 2ab + b^2 + c^2 + a^2 - 2ab + b^2 + c^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2)$$ .

Суммы равны, что и требовалось доказать.

Ответ

Утверждение доказано: AB² + BC² + CD² + DA² = AC² + BD²

Почему так

В удобной системе координат обе суммы равны 2(a² + b² + c²).