Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 96

Упражнение 1042 к § 96

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите методом координат, что в равнобедренной трапеции диагонали равны.

Решение

Дано: $$ABCD$$ — трапеция, $AD \parallel BC$ , $$AB = CD$$ . Доказать: $$AC = BD$$ .

Основание $$AD$$ положим на ось $$Ox$$ так, чтобы его концы были симметричны относительно начала: $$A(-a; 0)$$ , $$D(a; 0)$$ . Основание $$BC$$ лежит на прямой $$y = c$$ : $$B(x_1; c)$$ , $$C(x_2; c)$$ . Векторы $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AD}$ сонаправлены, поэтому $$x_2 > x_1$$ , и $BC \ne AD$ , то есть $x_2 - x_1 \ne 2a$ .
$$AB = CD$$ : $$(x_1 + a)^2 + c^2 = (x_2 - a)^2 + c^2$$ , значит, $$x_1 + a = x_2 - a$$ или $$x_1 + a = a - x_2$$ . Первое даёт $$x_2 - x_1 = 2a$$ — невозможно. Значит, $$x_1 = -x_2$$ .
$$AC^2 = (x_2 + a)^2 + c^2$$ , $$BD^2 = (a - x_1)^2 + c^2 = (a + x_2)^2 + c^2$$ . Отсюда $$AC = BD$$ .

Ответ

Утверждение доказано: AC = BD

Почему так

При симметричном выборе осей из равенства боковых сторон следует x₁ = −x₂, и квадраты диагоналей совпадают.

Условие (кратко)

Сформулируйте и докажите утверждение, обратное утверждению «в равнобедренной трапеции диагонали равны».

Решение

Обратное утверждение: если диагонали трапеции равны, то трапеция равнобедренная.

Дано: $$ABCD$$ — трапеция, $AD \parallel BC$ , $$AC = BD$$ . Доказать: $$AB = CD$$ .

Координаты как в первой части: $$A(-a; 0)$$ , $$D(a; 0)$$ , $$B(x_1; c)$$ , $$C(x_2; c)$$ , $$x_2 > x_1$$ .
$$AC = BD$$ : $$(x_2 + a)^2 = (a - x_1)^2$$ , значит, $$x_2 + a = a - x_1$$ или $$x_2 + a = x_1 - a$$ . Второе даёт $$x_2 - x_1 = -2a < 0$$ — невозможно. Значит, $$x_2 = -x_1$$ .
$$AB^2 = (x_1 + a)^2 + c^2$$ , $$CD^2 = (a - x_2)^2 + c^2 = (a + x_1)^2 + c^2$$ , поэтому $$AB = CD$$ .

Ответ

Если диагонали трапеции равны, то трапеция равнобедренная — доказано

Почему так

Равенство квадратов диагоналей в координатах снова даёт x₁ = −x₂, а значит, равные боковые стороны.