Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 96

Упражнение 1043 к § 96

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите методом координат, что если диагонали параллелограмма равны, то параллелограмм является прямоугольником.

Решение

Дано: $$ABCD$$ — параллелограмм, $$AC = BD$$ . Доказать: $$ABCD$$ — прямоугольник.

Систему координат выберем как в задаче 1039: $$A(0; 0)$$ , $$D(a; 0)$$ , $$B(b; c)$$ , $$C(a + b; c)$$ , где $$a > 0$$ , $c \ne 0$ .
$$AC^2 = (a + b)^2 + c^2$$ , $$BD^2 = (a - b)^2 + c^2$$ . Из $$AC = BD$$ : $$(a + b)^2 = (a - b)^2$$ , то есть $$4ab = 0$$ , и так как $a \ne 0$ , то $$b = 0$$ .
Значит, $$B(0; c)$$ лежит на оси $$Oy$$ , сторона $$AB$$ перпендикулярна $$AD$$ , $\angle A = 90^\circ$ . Параллелограмм с прямым углом — прямоугольник.

Ответ

Утверждение доказано: ∠A = 90°, ABCD — прямоугольник

Почему так

Равенство диагоналей в координатах даёт b = 0, то есть сторона AB лежит на оси Oy и угол A прямой.