Задача 1
Условие (кратко)
Дан прямоугольник ABCD. Докажите, что для любой точки M плоскости AM² + CM² = BM² + DM².
Решение
Дано: \(ABCD\) — прямоугольник, \(M\) — любая точка. Доказать: \(AM^2 + CM^2 = BM^2 + DM^2\).
-
Начало координат в \(A\), лучи \(AB\) и \(AD\) — положительные полуоси. При \(AB = a\), \(AD = b\): \(A(0; 0)\), \(B(a; 0)\), \(C(a; b)\), \(D(0; b)\), \(M(x; y)\).
-
\(AM^2 + CM^2 = x^2 + y^2 + (x - a)^2 + (y - b)^2\).
-
\(BM^2 + DM^2 = (x - a)^2 + y^2 + x^2 + (y - b)^2\).
-
В правых частях одни и те же четыре слагаемых, поэтому суммы равны.
Ответ
Утверждение доказано: AM² + CM² = BM² + DM²
Почему так
Когда стороны прямоугольника лежат на осях, обе суммы раскладываются на одинаковые слагаемые.
Подробнее — в теме «Простейшие задачи в координатах».