Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 98

Упражнение 1046 к § 98

§ 98. Уравнение окружности · тема: Уравнение линии. Уравнение окружности

Задача 1

Условие (кратко)

Какие из точек A(3; −4), B(1; 0), C(0; 5), D(0; 0), E(0; 1) лежат на окружности x² + y² = 25?

Решение

Дано

окружность $$x^2 + y^2 = 25$$
точки $$A(3; -4)$$
$$B(1; 0)$$
$$C(0; 5)$$
$$D(0; 0)$$
$$E(0; 1)$$

Найти

точки на окружности

Подставляем координаты в левую часть:

$$A$$ : $$3^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25$$ — лежит; $$B$$ : $1 + 0 = 1 \ne 25$ ; $$C$$ : $$0 + 25 = 25$$ — лежит; $$D$$ : $0 \ne 25$ ; $$E$$ : $0 + 1 = 1 \ne 25$ .

Ответ

A и C

Почему так

Точка лежит на линии тогда и только тогда, когда её координаты удовлетворяют уравнению линии.

Подробнее — в теме «Уравнение линии. Уравнение окружности».

Задача 2

Условие (кратко)

Какие из точек A(3; −4), B(1; 0), C(0; 5), D(0; 0), E(0; 1) лежат на окружности (x − 1)² + (y + 3)² = 9?

Решение

Дано

окружность $$(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 9$$ и точки $$A$$
$$B$$
$$C$$
$$D$$
$$E$$

Найти

точки на окружности

$$A(3; -4)$$ : $2^2 + (-1)^2 = 5 \ne 9$ ; $$B(1; 0)$$ : $$0^2 + 3^2 = 9$$ — лежит; $$C(0; 5)$$ : $(-1)^2 + 8^2 = 65 \ne 9$ ; $$D(0; 0)$$ : $(-1)^2 + 3^2 = 10 \ne 9$ ; $$E(0; 1)$$ : $(-1)^2 + 4^2 = 17 \ne 9$ .

Ответ

Почему так

Подставляем координаты каждой точки в уравнение окружности и смотрим, получается ли верное равенство.

Подробнее — в теме «Уравнение линии. Уравнение окружности».

Задача 3

Условие (кратко)

Какие из точек A(3; −4), B(1; 0), C(0; 5), D(0; 0), E(0; 1) лежат на окружности (x − 1/2)² + y² = 1/4?

Решение

Дано

окружность $\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 + y^2 = \dfrac{1}{4}$ и точки $$A$$
$$B$$
$$C$$
$$D$$
$$E$$

Найти

точки на окружности

$$A(3; -4)$$ : $\left(\dfrac{5}{2}\right)^2 + 16 = 22\dfrac{1}{4} \ne \dfrac{1}{4}$ ; $$B(1; 0)$$ : $\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + 0 = \dfrac{1}{4}$ — лежит; $$C(0; 5)$$ : $\dfrac{1}{4} + 25 \ne \dfrac{1}{4}$ ; $$D(0; 0)$$ : $\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 + 0 = \dfrac{1}{4}$ — лежит; $$E(0; 1)$$ : $\dfrac{1}{4} + 1 \ne \dfrac{1}{4}$ .

Это окружность с центром $\left(\dfrac{1}{2}; 0\right)$ радиуса $\dfrac{1}{2}$ , $$BD$$ — её диаметр. В учебнике перед $$y^2$$ напечатан знак «−» — это опечатка (с минусом уравнение задаёт не окружность); ответ при этом тот же: у точек $$B$$ и $$D$$ ордината равна нулю.

Ответ

B и D

Почему так

Координаты точки подставляют в уравнение окружности — на окружности лежат только те точки, для которых получается верное равенство.

Подробнее — в теме «Уравнение линии. Уравнение окружности».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Похожие задачи для тренировки