Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 98

Упражнение 1048 к § 98

Задача 1

Условие (кратко)

Даны окружность x² + y² = 25 и точки A(3; 4) и B(4; −3). Докажите, что AB — хорда данной окружности.

Решение

Дано: окружность $$x^2 + y^2 = 25$$ , $$A(3; 4)$$ , $$B(4; -3)$$ . Доказать: $$AB$$ — хорда.

Хорда — отрезок, концы которого лежат на окружности. Проверим каждую точку.
$$A$$ : $$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$$ — координаты удовлетворяют уравнению, точка $$A$$ лежит на окружности.
$$B$$ : $$4^2 + (-3)^2 = 16 + 9 = 25$$ — точка $$B$$ тоже лежит на окружности.
Точки $$A$$ и $$B$$ различны, оба конца отрезка $$AB$$ на окружности — значит, $$AB$$ — хорда.

Ответ

Утверждение доказано: обе точки A и B лежат на окружности

Почему так

Чтобы доказать, что точка лежит на окружности, достаточно подставить её координаты в уравнение окружности.