Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 98

Упражнение 1055 к § 98

Задача 1

Условие (кратко)

Напишите уравнение окружности с диаметром MN, если M(−3; 5), N(7; −3).

Решение

Дано

Найти

Центр $$C$$ — середина диаметра: $x_0 = \dfrac{-3 + 7}{2} = 2$ , $y_0 = \dfrac{5 + (-3)}{2} = 1$ , то есть $$C(2; 1)$$ .
Квадрат радиуса $$r^2 = CM^2 = (-3 - 2)^2 + (5 - 1)^2 = 25 + 16 = 41$$ .
Уравнение: $$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 41$$ . Проверка по точке $$N$$ даёт $$5^2 + (-4)^2 = 41$$ , верно.

Ответ

(x − 2)² + (y − 1)² = 41

Почему так

Центр окружности — середина диаметра, радиус — половина диаметра (или расстояние от центра до его конца).

Условие (кратко)

Напишите уравнение окружности с диаметром MN, если M(2; −1), N(4; 3).

Решение

Дано

Найти

Центр — середина $$MN$$ : $C\left(\dfrac{2 + 4}{2}; \dfrac{-1 + 3}{2}\right) = C(3; 1)$ .
$$r^2 = CM^2 = (2 - 3)^2 + (-1 - 1)^2 = 1 + 4 = 5$$ .
Уравнение: $$(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 5$$ .

Ответ

(x − 3)² + (y − 1)² = 5

Почему так

Центр — середина диаметра, а квадрат радиуса — квадрат расстояния от центра до конца диаметра.