Задача 1
Условие (кратко)
Окружность радиуса 5 проходит через точку A(1; 3), её центр лежит на оси абсцисс. Напишите её уравнение. Сколько таких окружностей?
Решение
Дано
- \(r = 5\)
- \(A(1; 3)\) на окружности
- центр \(C\) на оси \(Ox\)
Найти
- уравнение окружности
- число таких окружностей
-
Центр на оси абсцисс, значит, \(C(a; 0)\), и уравнение имеет вид \((x - a)^2 + y^2 = 25\).
-
Точка \(A\) лежит на окружности, поэтому \((1 - a)^2 + 3^2 = 25\), откуда \((1 - a)^2 = 16\).
-
\(1 - a = 4\) или \(1 - a = -4\), то есть \(a = -3\) или \(a = 5\).
-
Получаем две окружности: \((x - 5)^2 + y^2 = 25\) и \((x + 3)^2 + y^2 = 25\).
Ответ
(x − 5)² + y² = 25 и (x + 3)² + y² = 25; две окружности
Почему так
Неизвестную абсциссу центра находим, подставив координаты точки A в уравнение окружности; квадратное уравнение дало два корня.
Подробнее — в теме «Уравнение линии. Уравнение окружности».