Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 98

Упражнение 1067 к § 98

Задача 1

Условие (кратко)

Установите взаимное расположение окружностей x² + y² = 9 и x² + y² = 4.

Решение

Дано

Найти

Первая — центр $$O(0; 0)$$ , радиус 3; вторая — тот же центр $$O(0; 0)$$ , радиус 2.
Окружности концентрические (с общим центром). Общих точек нет: сумма $$x^2 + y^2$$ не может равняться одновременно 9 и 4.
Каждая точка второй окружности удалена от $$O$$ на $$2 < 3$$ , поэтому вторая окружность лежит внутри круга, ограниченного первой.

Ответ

Окружности концентрические, общих точек нет; меньшая (радиус 2) лежит внутри большей (радиус 3)

Почему так

Центр и радиус каждой окружности читаем по уравнению и сравниваем.

Условие (кратко)

Установите взаимное расположение окружностей (x − 1)² + y² = 1 и x² + y² = 4.

Решение

Дано

Найти

Первая — центр $$(1; 0)$$ , радиус 1; вторая — центр $$(0; 0)$$ , радиус 2.
Найдём общие точки. Раскроем скобки в первом уравнении, получим $$x^2 + y^2 - 2x = 0$$ . Подставим $$x^2 + y^2 = 4$$ из второго, тогда $$4 - 2x = 0$$ , $$x = 2$$ .
При $$x = 2$$ из второго уравнения $$y^2 = 0$$ , $$y = 0$$ . Общая точка одна — $$(2; 0)$$ .
Первая окружность лежит внутри круга радиуса 2 и касается второй окружности в точке $$(2; 0)$$ (расстояние между центрами $$1 = 2 - 1$$ ).

Ответ

Окружности имеют одну общую точку (2; 0) — меньшая касается большей изнутри

Почему так

Общие точки двух линий — решения системы из их уравнений.