Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 98

Упражнение 1068 к § 98

Задача 1

Условие (кратко)

Найдите количество точек пересечения окружностей (x + 2)² + y² = 1 и x² + y² = 4.

Решение

Дано

Найти

Раскроем скобки в первом уравнении, получим $$x^2 + y^2 + 4x + 4 = 1$$ . Подставим $$x^2 + y^2 = 4$$ , тогда $$4 + 4x + 4 = 1$$ , $x = -\dfrac{7}{4}$ .
Из второго уравнения $y^2 = 4 - \dfrac{49}{16} = \dfrac{15}{16} > 0$ , поэтому $y = \dfrac{\sqrt{15}}{4}$ или $y = -\dfrac{\sqrt{15}}{4}$ .
Две точки пересечения: $\left(-\dfrac{7}{4}; \pm\dfrac{\sqrt{15}}{4}\right)$ .

Ответ

Две точки

Почему так

Число общих точек окружностей равно числу решений системы их уравнений; вычитание уравнений сводит её к линейному уравнению.

Условие (кратко)

Найдите количество точек пересечения окружностей (x + 3)² + y² = 1 и x² + y² = 4.

Решение

Дано

Найти

Раскроем скобки, получим $$x^2 + y^2 + 6x + 9 = 1$$ . Подставим $$x^2 + y^2 = 4$$ , тогда $$4 + 6x + 9 = 1$$ , $$x = -2$$ .
Из второго уравнения $$y^2 = 4 - 4 = 0$$ , $$y = 0$$ .
Общая точка одна — $$(-2; 0)$$ : окружности касаются (расстояние между центрами $$3 = 2 + 1$$ ).

Ответ

Одна точка, (−2; 0)

Почему так

Система уравнений окружностей имеет единственное решение — окружности касаются.