Задача 1
Даны точки A и B. Найдите множество всех точек, расстояние от которых до A в 2 раза больше, чем до B.
Решение
- точки \(A\)
- \(B\)
- \(AB = a\)
- множество точек \(M\)
- для которых \(AM = 2BM\)
-
Введём систему координат: \(A(0; 0)\), \(B(a; 0)\). Для точки \(M(x; y)\) имеем \(AM^2 = x^2 + y^2\) и \(BM^2 = (x - a)^2 + y^2\).
-
Условие \(AM = 2BM\) равносильно \(AM^2 = 4BM^2\) (расстояния неотрицательны), то есть \(x^2 + y^2 = 4\left((x - a)^2 + y^2\right)\).
-
Раскроем скобки, получим \(3x^2 - 8ax + 4a^2 + 3y^2 = 0\), или \(x^2 - \dfrac{8a}{3}x + y^2 + \dfrac{4a^2}{3} = 0\).
-
Выделим полный квадрат: \(\left(x - \dfrac{4a}{3}\right)^2 - \dfrac{16a^2}{9} + \dfrac{12a^2}{9} + y^2 = 0\), то есть \(\left(x - \dfrac{4a}{3}\right)^2 + y^2 = \left(\dfrac{2a}{3}\right)^2\).
-
Это уравнение окружности с центром \(C\left(\dfrac{4a}{3}; 0\right)\) и радиусом \(\dfrac{2a}{3}\). Центр лежит на луче \(AB\) за точкой \(B\): \(AC = \dfrac{4}{3}AB\).
Ответ
Условие на расстояния переписываем через координаты и приводим уравнение к виду уравнения окружности (окружность Аполлония).
Подробнее — в теме «Уравнение линии. Уравнение окружности».