Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 98

Упражнение 1070 к § 98

Задача 1

Условие (кратко)

B — середина отрезка AC длины 2. Найдите множество всех точек M, для которых AM² + BM² + CM² = 50.

Решение

Дано

Найти

Введём координаты: $$B(0; 0)$$ , $$A(-1; 0)$$ , $$C(1; 0)$$ . Пусть $$M(x; y)$$ .
$$AM^2 + BM^2 + CM^2 = (x + 1)^2 + y^2 + x^2 + y^2 + (x - 1)^2 + y^2 = 3x^2 + 3y^2 + 2$$ .
Условие $$3x^2 + 3y^2 + 2 = 50$$ равносильно $$x^2 + y^2 = 16$$ .
Это окружность с центром $$B(0; 0)$$ и радиусом 4.

Ответ

Окружность радиуса 4 с центром B

Почему так

Удобно взять начало координат в середине отрезка — тогда уравнение множества сразу получается уравнением окружности.

Условие (кратко)

B — середина отрезка AC длины 2. Найдите множество всех точек M, для которых AM² + 2BM² + 3CM² = 4.

Решение

Дано

Найти

Координаты: $$A(-1; 0)$$ , $$B(0; 0)$$ , $$C(1; 0)$$ , $$M(x; y)$$ .
$AM^2 + 2BM^2 + 3CM^2 = (x + 1)^2 + y^2 + 2(x^2 + y^2) + 3\left((x - 1)^2 + y^2\right) = 6x^2 - 4x + 6y^2 + 4$ .
Условие $$6x^2 - 4x + 6y^2 + 4 = 4$$ равносильно $x^2 - \dfrac{2}{3}x + y^2 = 0$ .
Выделим полный квадрат, получим $\left(x - \dfrac{1}{3}\right)^2 + y^2 = \dfrac{1}{9}$ .
Это окружность с центром $D\left(\dfrac{1}{3}; 0\right)$ и радиусом $\dfrac{1}{3}$ . Точка $$D$$ лежит на отрезке $$BC$$ , $BD = \dfrac{1}{3}$ (окружность проходит через $$B$$ ).

Ответ

Окружность радиуса 1/3 с центром D на отрезке BC, BD = 1/3

Почему так

Записываем условие в координатах и выделяем полный квадрат — получаем уравнение окружности.