Задача 1
Даны точки A и B. Найдите множество всех точек M, для которых AM² + BM² = k², где k — данное число.
Решение
- точки \(A\)
- \(B\)
- \(AB = 2a\)
- число \(k\)
- множество точек \(M\)
- для которых \(AM^2 + BM^2 = k^2\)
-
Начало координат — в середине \(O\) отрезка \(AB\): \(A(-a; 0)\), \(B(a; 0)\), где \(a = \dfrac{AB}{2}\). Пусть \(M(x; y)\).
-
\(AM^2 + BM^2 = (x + a)^2 + y^2 + (x - a)^2 + y^2 = 2x^2 + 2y^2 + 2a^2\).
-
Условие равносильно \(x^2 + y^2 = \dfrac{k^2 - 2a^2}{2}\).
-
Если \(k^2 > 2a^2\), это окружность с центром \(O\) и радиусом \(\sqrt{\dfrac{k^2 - 2a^2}{2}}\). Если \(k^2 = 2a^2\), уравнению удовлетворяет только точка \(O\). Если \(k^2 < 2a^2\), правая часть отрицательна — таких точек нет.
Ответ
В координатах с началом в середине AB условие сводится к уравнению x² + y² = const, вид множества зависит от знака правой части.
Подробнее — в теме «Уравнение линии. Уравнение окружности».