Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 99

Упражнение 1060 к § 99

Задача 1

Условие (кратко)

Вершины трапеции ABCD — A(−2; −2), B(−3; 1), C(7; 7), D(3; 1). Напишите уравнения прямых, содержащих диагонали AC и BD.

Решение

Дано

Найти

Прямая $$AC$$ . У обеих точек абсцисса равна ординате ( $$-2 = -2$$ , $$7 = 7$$ ), поэтому обе лежат на прямой $$y = x$$ . Уравнение $$x - y = 0$$ .
Прямая $$BD$$ . У точек $$B$$ и $$D$$ одинаковая ордината 1, значит, прямая параллельна оси $$Ox$$ , её уравнение $$y = 1$$ , или $$y - 1 = 0$$ .

Проверить можно и общим способом — подстановкой точек в $$ax + by + c = 0$$ .

Ответ

AC — x − y = 0, BD — y − 1 = 0

Почему так

Если точки имеют одинаковую ординату, прямая через них параллельна оси Ox и имеет уравнение y = y₀.

Подробнее — в теме «Уравнение прямой».

Условие (кратко)

Вершины трапеции ABCD — A(−2; −2), B(−3; 1), C(7; 7), D(3; 1). Напишите уравнение прямой, содержащей среднюю линию трапеции.

Решение

Дано

трапеция $$ABCD$$
$$A(-2; -2)$$
$$B(-3; 1)$$
$$C(7; 7)$$
$$D(3; 1)$$

Найти

Найдём основания. $\overrightarrow{AD}\{5; 3\}$ , $\overrightarrow{BC}\{10; 6\}$ , то есть $\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{AD}$ — векторы коллинеарны, $AD \parallel BC$ . Основания — $$AD$$ и $$BC$$ , боковые стороны — $$AB$$ и $$CD$$ .
Средняя линия соединяет середины боковых сторон: середина $$AB$$ — $$P(-2{,}5; -0{,}5)$$ , середина $$CD$$ — $$Q(5; 4)$$ .
Прямая $$ax + by + c = 0$$ через $$P$$ и $$Q$$ даёт $$-2{,}5a - 0{,}5b + c = 0$$ и $$5a + 4b + c = 0$$ . Вычтем, получим $$7{,}5a + 4{,}5b = 0$$ , откуда $b = -\dfrac{5a}{3}$ , и $c = -5a - 4b = \dfrac{5a}{3}$ .
Умножим уравнение $ax - \dfrac{5a}{3}y + \dfrac{5a}{3} = 0$ на $\dfrac{3}{a}$ , получим $$3x - 5y + 5 = 0$$ .

Проверка: для $$P$$ получаем $$-7{,}5 + 2{,}5 + 5 = 0$$ , для $$Q$$ получаем $$15 - 20 + 5 = 0$$ .

Ответ

3x − 5y + 5 = 0

Почему так

Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон, поэтому сначала определяем, какие стороны параллельны.

Подробнее — в теме «Уравнение прямой».