Задача 1
Диагонали ромба равны 10 см и 4 см и лежат на осях координат. Напишите уравнения прямых, содержащих стороны ромба.
Решение
- ромб
- диагонали 10 см и 4 см лежат на осях
- уравнения прямых
- содержащих стороны
-
Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, а пересекаются они в начале координат. Возможны два случая: вершины \((\pm 5; 0)\), \((0; \pm 2)\) или \((\pm 2; 0)\), \((0; \pm 5)\).
-
Первый случай, сторона через \((2; 0)\) и \((0; 5)\). Подставим в \(ax + by + c = 0\), получим \(2a + c = 0\) и \(5b + c = 0\). Возьмём \(c = -10\), тогда \(a = 5\), \(b = 2\), и уравнение \(5x + 2y - 10 = 0\). Остальные стороны получаются заменой знаков при \(x\) и \(y\) (ромб симметричен относительно осей): \(5x - 2y - 10 = 0\), \(5x + 2y + 10 = 0\), \(5x - 2y + 10 = 0\).
-
Второй случай (вершины \((\pm 5; 0)\), \((0; \pm 2)\)) аналогично даёт \(2x + 5y - 10 = 0\), \(2x - 5y - 10 = 0\), \(2x + 5y + 10 = 0\), \(2x - 5y + 10 = 0\).
Ответ
Вершины ромба лежат на осях на расстояниях, равных половинам диагоналей; уравнение стороны — уравнение прямой через две вершины.
Подробнее — в теме «Уравнение прямой».