Задача 1
Условие (кратко)
Прямая и окружность заданы уравнениями y = x − 2 и x² + (y − 2)² = 9. Установите их взаимное расположение.
Решение
Дано
- прямая \(y = x - 2\)
- окружность \(x^2 + (y - 2)^2 = 9\)
Найти
- их взаимное расположение
-
Общие точки — решения системы. Подставим \(y = x - 2\) в уравнение окружности, получим \(x^2 + (x - 4)^2 = 9\), то есть \(2x^2 - 8x + 7 = 0\).
-
Дискриминант \(D = 64 - 56 = 8 > 0\), уравнение имеет два корня \(x = \dfrac{4 \pm \sqrt{2}}{2}\).
-
Каждому \(x\) соответствует своё \(y = x - 2\), поэтому общих точек две — прямая пересекает окружность (секущая).
Ответ
Прямая пересекает окружность в двух точках
Почему так
Число общих точек прямой и окружности равно числу решений системы их уравнений.
Подробнее — в теме «Уравнение прямой».