Задача 1
Даны точки A и B. Найдите множество всех точек M, для которых AM² − BM² = k, где k — данное число.
Решение
- точки \(A\)
- \(B\)
- \(AB = a\)
- число \(k\)
- множество точек \(M\)
- для которых \(AM^2 - BM^2 = k\)
-
Координаты: \(A(0; 0)\), \(B(a; 0)\), \(M(x; y)\). Тогда \(AM^2 = x^2 + y^2\), \(BM^2 = (x - a)^2 + y^2\).
-
Условие \(x^2 + y^2 - (x - a)^2 - y^2 = k\) после раскрытия скобок даёт \(2ax - a^2 = k\), то есть \(x = \dfrac{a^2 + k}{2a}\).
-
Уравнение \(x = x_0\) задаёт прямую, параллельную оси \(Oy\) (при \(a^2 + k = 0\) — саму ось \(Oy\)). Ось \(Oy\) перпендикулярна оси \(Ox\), на которой лежит \(AB\).
-
Искомое множество — прямая, перпендикулярная к \(AB\); она пересекает прямую \(AB\) в точке на расстоянии \(\dfrac{a^2 + k}{2a}\) от \(A\) (со стороны \(B\), если это число положительно).
Ответ
В координатах условие становится уравнением x = const — это прямая, параллельная оси Oy, то есть перпендикулярная AB.
Подробнее — в теме «Уравнение прямой».