Задача 1
Условие (кратко)
Даны точки A и B. Найдите множество всех точек M, для которых BM² − AM² = 2AB².
Решение
Дано
- точки \(A\)
- \(B\)
- \(AB = a\)
Найти
- множество точек \(M\)
- для которых \(BM^2 - AM^2 = 2AB^2\)
-
Координаты: \(A(0; 0)\), \(B(a; 0)\), \(M(x; y)\).
-
\(BM^2 - AM^2 = (x - a)^2 + y^2 - x^2 - y^2 = -2ax + a^2\).
-
Условие \(-2ax + a^2 = 2a^2\) даёт \(x = -\dfrac{a}{2}\) — прямую, перпендикулярную к \(AB\).
-
Она проходит через точку \(\left(-\dfrac{a}{2}; 0\right)\) — середину отрезка \(AB'\), где \(B'(-a; 0)\) — точка, симметричная \(B\) относительно \(A\). Значит, это серединный перпендикуляр к отрезку \(AB'\).
Ответ
Серединный перпендикуляр к отрезку AB′, где B′ симметрична точке B относительно точки A
Почему так
Разность квадратов расстояний до двух точек в координатах даёт линейное уравнение x = const — прямую, перпендикулярную AB.
Подробнее — в теме «Уравнение прямой».