Задача 1
Условие (кратко)
Дан прямоугольник ABCD. Найдите множество всех точек M, для которых (AM² + DM²) − (BM² + CM²) = 2AB².
Решение
Дано
- прямоугольник \(ABCD\)
Найти
- множество точек \(M\)
- для которых \((AM^2 + DM^2) - (BM^2 + CM^2) = 2AB^2\)
-
Введём координаты так, чтобы \(A\) и \(D\) лежали на оси \(Ox\) симметрично относительно оси \(Oy\): \(A(-p; 0)\), \(D(p; 0)\), \(B(-p; h)\), \(C(p; h)\), где \(h = AB\).
-
\(AM^2 + DM^2 = (x + p)^2 + (x - p)^2 + 2y^2\), \(BM^2 + CM^2 = (x + p)^2 + (x - p)^2 + 2(y - h)^2\).
-
Разность равна \(2y^2 - 2(y - h)^2 = 4hy - 2h^2\). Условие \(4hy - 2h^2 = 2h^2\) даёт \(y = h\).
-
Прямая \(y = h\) проходит через точки \(B\) и \(C\) — это прямая \(BC\).
Ответ
Прямая BC
Почему так
При удачном выборе координат слагаемые с x сокращаются, и условие задаёт прямую y = h, на которой лежит сторона BC.
Подробнее — в теме «Уравнение прямой».