Задача 1
Дан ромб ABCD с диагоналями 2a и 2b. Найдите множество всех точек M, для которых AM² + DM² = BM² + CM² (повышенной трудности).
Решение
- ромб \(ABCD\)
- \(AC = 2a\)
- \(BD = 2b\)
- множество точек \(M\)
- для которых \(AM^2 + DM^2 = BM^2 + CM^2\)
-
Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения \(O\) делятся пополам. Начало координат — в \(O\), оси — по диагоналям: \(A(-a; 0)\), \(B(0; b)\), \(C(a; 0)\), \(D(0; -b)\).
-
Для \(M(x; y)\) имеем \(AM^2 + DM^2 = (x + a)^2 + y^2 + x^2 + (y + b)^2\) и \(BM^2 + CM^2 = x^2 + (y - b)^2 + (x - a)^2 + y^2\).
-
Приравняем и сократим одинаковые слагаемые, получим \((x + a)^2 - (x - a)^2 + (y + b)^2 - (y - b)^2 = 0\), то есть \(4ax + 4by = 0\), или \(ax + by = 0\).
-
Это прямая, проходящая через \(O(0; 0)\) и через точку \(P(b; -a)\). Покажем, что \(OP \perp AB\). Возьмём \(Q(a; b)\); тогда \(\overrightarrow{OQ}\{a; b\} = \overrightarrow{AB}\), поэтому \(OQ \parallel AB\). В треугольнике \(OPQ\) имеем \(OP^2 + OQ^2 = 2(a^2 + b^2)\) и \(PQ^2 = (a - b)^2 + (a + b)^2 = 2(a^2 + b^2)\). По теореме, обратной теореме Пифагора, \(\angle POQ = 90^\circ\), значит, \(OP \perp AB\).
-
Искомое множество — прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей и перпендикулярная к стороне \(AB\) (и к \(CD\)).
Ответ
В координатах с осями по диагоналям условие даёт уравнение ax + by = 0 — прямую через центр ромба.
Подробнее — в теме «Уравнение прямой».