Задание 1368

Дано: числа \(k\), \(l\), векторы \(\vec{a}\), \(\vec{b}\). Доказать: 1) \((kl)\vec{a} = k(l\vec{a})\); 2) \((k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}\); 3) \(k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}\).

Напомним определение: \(k\vec{a}\) — вектор длины \(|k| \cdot |\vec{a}|\), сонаправленный с \(\vec{a}\) при \(k \ge 0\) и противоположно направленный при \(k < 0\). Два вектора равны, если у них равные длины и одно направление.

1) Сочетательный закон. Если \(\vec{a} = \vec{0}\), обе части — нулевые векторы. Пусть \(\vec{a} \ne \vec{0}\).

Длины: \(|(kl)\vec{a}| = |kl| \cdot |\vec{a}| = |k| \cdot |l| \cdot |\vec{a}| = |k| \cdot |l\vec{a}| = |k(l\vec{a})|\).

Направления: если \(kl \ge 0\), то \(k\) и \(l\) одного знака (или одно из них равно нулю — тогда оба вектора нулевые), и оба вектора сонаправлены с \(\vec{a}\), причём \((kl)\vec{a}\) — по определению, \(k(l\vec{a})\) — потому что направление меняется либо ни разу, либо дважды. Если \(kl < 0\), то ровно одно из чисел отрицательно, направление меняется ровно один раз, и оба вектора направлены противоположно \(\vec{a}\). Длины равны, направления совпадают — векторы равны.

2) Первый распределительный закон. Если \(\vec{a} = \vec{0}\), обе части нулевые. Пусть \(\vec{a} \ne \vec{0}\). Векторы \(k\vec{a}\) и \(l\vec{a}\) коллинеарны \(\vec{a}\); отложим их подряд на одной прямой и вспомним, как складываются коллинеарные векторы: сумма сонаправленных векторов направлена так же, а её длина равна сумме длин; сумма противоположно направленных векторов направлена как более длинный из них, а её длина равна разности длин.

а) \(k\) и \(l\) одного знака (оба \(\ge 0\) или оба \(\le 0\)). Тогда \(k\vec{a}\) и \(l\vec{a}\) сонаправлены (оба с \(\vec{a}\) или оба против), и \(|k\vec{a} + l\vec{a}| = (|k| + |l|)|\vec{a}| = |k + l| \cdot |\vec{a}|\). Число \(k + l\) того же знака, поэтому \((k + l)\vec{a}\) направлен так же. Векторы равны.

б) \(k\) и \(l\) разных знаков, например \(k > 0 > l\) (иначе поменяем их ролями). Тогда \(k\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{a}\), \(l\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{a}\), и \(|k\vec{a} + l\vec{a}| = \bigl||k| - |l|\bigr| \cdot |\vec{a}| = |k + l| \cdot |\vec{a}|\). Если \(k > |l|\), то \(k + l > 0\) и сумма направлена как более длинный вектор \(k\vec{a}\), то есть как \(\vec{a}\) — так же, как \((k + l)\vec{a}\). Если \(k < |l|\), то \(k + l < 0\) и сумма направлена как \(l\vec{a}\), то есть противоположно \(\vec{a}\) — снова как \((k + l)\vec{a}\). Если \(k = |l|\), обе части нулевые.

3) Второй распределительный закон. Сначала пусть \(k > 0\) и векторы \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) не коллинеарны. От точки \(O\) отложим \(\overrightarrow{OA_1} = \vec{a}\), \(\overrightarrow{A_1B_1} = \vec{b}\), тогда \(\overrightarrow{OB_1} = \vec{a} + \vec{b}\). Отложим также \(\overrightarrow{OA} = k\vec{a}\), \(\overrightarrow{AB} = k\vec{b}\), тогда \(\overrightarrow{OB} = k\vec{a} + k\vec{b}\).

Точка \(A\) лежит на луче \(OA_1\) и \(OA = k \cdot OA_1\). Векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{A_1B_1}\) сонаправлены, поэтому \(AB \parallel A_1B_1\), \(AB = k \cdot A_1B_1\), а точки \(B\) и \(B_1\) лежат по одну сторону от прямой \(OA\). Углы \(OA_1B_1\) и \(OAB\) равны как соответственные при параллельных прямых \(A_1B_1\) и \(AB\) и секущей \(OA\). Значит, \(\triangle OA_1B_1 \sim \triangle OAB\) по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (коэффициент \(k\)). Отсюда \(\angle A_1OB_1 = \angle AOB\) и \(OB = k \cdot OB_1\). Так как \(B\) и \(B_1\) по одну сторону от прямой \(OA\), лучи \(OB\) и \(OB_1\) совпадают, и \(\overrightarrow{OB} = k\overrightarrow{OB_1}\), то есть \(k\vec{a} + k\vec{b} = k(\vec{a} + \vec{b})\).

Если \(k < 0\), применим доказанное к числу \(-k > 0\) и учтём, что \((-k)\vec{x} = -(k\vec{x})\) (по определению: та же длина, противоположное направление), а \(-(\vec{u} + \vec{v}) = (-\vec{u}) + (-\vec{v})\):

Осталось рассмотреть коллинеарные векторы. Если \(\vec{a} = \vec{0}\), равенство очевидно. Иначе по лемме о коллинеарных векторах \(\vec{b} = t\vec{a}\) для некоторого числа \(t\), и по уже доказанным свойствам 1 и 2: