Задача 1
(Повышенной трудности.) Даны четырёхугольник MNPQ и точка O. Что представляет собой четырёхугольник, если ON − OM = OP − OQ (векторы)?
Решение
- четырёхугольник \(MNPQ\)
- точка \(O\)
- \(\overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OQ}\)
- вид четырёхугольника
-
Разность векторов с общим началом: \(\overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{MN}\) (так как \(\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{ON}\)). Точно так же \(\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{QP}\).
-
Значит, условие означает \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{QP}\), и от точки \(O\) оно не зависит.
-
Равные векторы имеют равные длины и одинаковое направление, поэтому стороны \(MN\) и \(QP\) четырёхугольника параллельны и равны: \(MN \parallel QP\), \(MN = QP\) (они не лежат на одной прямой, иначе вершины четырёхугольника лежали бы на одной прямой).
-
Четырёхугольник, у которого две противоположные стороны равны и параллельны, — параллелограмм.
Ответ
Разность векторов с общим началом O — вектор между их концами, поэтому условие означает MN = QP как векторы, а это признак параллелограмма.
Подробнее — в теме «Вычитание векторов».