Задача 1
(Повышенной трудности.) Даны четырёхугольник ABCD и точка O. Точки E, F, G, H симметричны O относительно середин сторон AB, BC, CD, DA. Что представляет собой четырёхугольник EFGH?
Решение
- четырёхугольник \(ABCD\)
- точка \(O\); \(E\)
- \(F\)
- \(G\)
- \(H\) симметричны \(O\) относительно середин \(AB\)
- \(BC\)
- \(CD\)
- \(DA\)
- вид \(EFGH\)
-
Пусть \(P\) — середина \(AB\). По формуле вектора середины отрезка (задача 1 п. 92) \(\overrightarrow{OP} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})\). Точка \(E\) симметрична \(O\) относительно \(P\), значит, \(P\) — середина \(OE\) и \(\overrightarrow{OE} = 2\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}\). (Если \(O\) совпадает с \(P\), то и \(E = O\), и формула тоже верна.)
-
Так же \(\overrightarrow{OF} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}\), \(\overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}\), \(\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OA}\).
-
Найдём стороны:
\[\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{OF} - \overrightarrow{OE} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AC},\qquad \overrightarrow{HG} = \overrightarrow{OG} - \overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AC}.\]\[\overrightarrow{EH} = \overrightarrow{OH} - \overrightarrow{OE} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BD}.\] -
Диагонали \(AC\) и \(BD\) четырёхугольника не параллельны и не лежат на одной прямой (иначе его стороны пересекались бы), поэтому \(\overrightarrow{EF}\) и \(\overrightarrow{EH}\) не коллинеарны и точки \(E\), \(F\), \(H\) не лежат на одной прямой.
-
Из \(\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{HG}\) следует, что противоположные стороны \(EF\) и \(HG\) равны и параллельны, — \(EFGH\) параллелограмм. Его стороны равны и параллельны диагоналям \(ABCD\): \(EF = HG = AC\), \(EH = FG = BD\).
Ответ
Вектор OE равен OA + OB (O и E симметричны относительно середины AB), откуда EF = HG = AC как векторы — признак параллелограмма.
Подробнее — в теме «Применение векторов к решению задач».